0 Yarışma Programı (Monty Hall) Paradoksu

Monty Hall problemi, Amerikan TV yarışma programı Let's Make a Deal'a dayanan bir olasılık   bulmacasıdır. Problem adını yarışma sunucusu Monty Hall’dan alır.

Bir yarışma programında olduğunuzu ve üç kapıdan birini seçme hakkınız olduğunu varsayalım. Kapılardan birinin ardında bir araba, diğerlerinin ardında ise keçiler var. Kapılardan birini, diyelim ki 1'inciyi seçiyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu, diğer kapılardan birini, diyelim ki ardında keçi olan 3'üncüyü açıyor. Daha sonra size soruyor: "2. kapıyı seçmek ister misiniz?" Seçiminizi değiştirmek sizin yararınıza mıdır? Bu problem saçma gibi görünebilir ama sonucu doğru ve ispatlanabilirdir.

Yarışmacı geriye kalan iki kapıdan hangisinin kazanan olduğundan emin olamadığı için, çoğu kişi bu kapıların eşit olasılığa sahip olduğunu ve seçimi değiştirmenin hiçbir şeyi değiştirmeyeceğini sanır. Aslında, problemin klasik açıklamasına göre yarışmacı seçimini değiştirmelidir. Zira böylece arabayı bulma olasılığını 1/3'ten 2/3'e çıkarır; yani ikiye katlar.

Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3'tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3'tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır. Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3'tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.

Yarışmacı kapılardan birini seçtiğinde, seçilen kapının ardında araba olma olasılığı 1/3'tür ve araba 2/3 olasılıkla diğer kapılardan birinin ardındadır. Sunucunun ardında keçi olan bir kapıyı açması, yarışmacıya seçtiği kapının ardında ne olduğuyla ilgili yeni bir bilgi vermez. O kapının ardında araba olma olasılığı hâlâ 1/3'tür. Sunucunun verdiği yeni bilgi, açılan kapının ardında araba olma olasılığının 0/3 olduğudur. Dolayısıyla araba 2/3 olasılıkla hâlâ açılmayan kapının ardındadır. Kapı seçimi değiştirilirse arabayı kazanma olasılığı 2/3'tür, bu nedenle yarışmacı seçimini değiştirmelidir.

Yukarıdaki diyagram seçimini değiştiren bir yarışmacının her zaman ilk seçiminin tam tersini elde edeceğini gösterir ve bu seçimin keçi olma olasılığı araba olma olasılığının iki katı olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman avantajlıdır. Diğer deyişle, önce keçiyi seçmiş olma olasılığı 2/3, arabayı seçmiş olma olasılığı ise 1/3'tür. Monty Hall artık "keçili kapıyı" ortadan kaldırdıktan sonra, baştan ardında keçi olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının arabayı kazanması, baştan ardında araba olan kapıyı seçmiş olan yarışmacının ise keçiyi "kazanması" gerekir. Yarışmacının baştan keçiyi seçmiş olma olaslığı 2/3 olduğundan, seçimi değiştirmek her zaman yararına olacaktır.

Çözümü anlamanın bir başka yolu, en baştaki seçilmemiş iki kapıyı birlikte değerlendirmektir. Bir kapının açılıp kaybedilen kapı olarak gösterilmesi yerine, buna eşit bir işlem olarak (açılmış olan kapı seçilemeyeceğinden) seçilmemiş olan iki kapı tek bir olarak düşünülebilir. 

Cecil Adams'ın ifade ettiği gibi , "Monty aslında şunu söylemektedir: Seçtiğiniz kapıda ısrar edebilir ya da diğer iki kapıya sahip olabilirsiniz." Yarışmacı bu durumda ilk seçimini korumak ya da iki kapının ardındakilerin toplamını seçmek hakkına sahiptir. Zira 2/3'lük arabayı saklama şansı, bu kapılardan birinin açılmasıyla değişmiş olmaz.

Keith Devlin'in sözleriyle ,"Kapıyı açarak Monty yarışmacıya şunu söylemektedir: 'Seçmediğiniz iki kapı var ve ödülün bunlardan birinin ardında olma olasılığı 2/3. Ödülün nerede olduğunu bildiğimden bu iki kapıdan birini açarak ardında ödül bulunmadığını gösterecek ve size yardım edeceğim. Artık bu ek bilgiden yararlanabilirsiniz. Seçtiğiniz A kapısı 3'te 1 olasılıkla kazanandır. Bunu değiştirmiş olmuyorum. Ancak C'yi eleyerek size, B'nin 3'te 2 olasılıkla ödülü sakladığını göstermiş oluyorum.'"